<section role="presentation" data-formula="d_n=\left
| \begin{matrix}{}
1& 1& \cdots& 1\\
1& 2& \cdots& n\\
1& 2^2& \cdots& n^2\\
\vdots& \vdots& \cdots& \vdots\\
1& 2^{n-2}& \cdots& n^{n-2}\\
1& 2^n& \cdots& n^n\\
\end{matrix} \right|
” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>
二、当为何值时,下列方程组有唯一解,无穷解,无解？并在方程组有解时求一般解
<section role="presentation" data-formula="\left\{ \begin{array}{l}
\lambda x_1+x_2+x_3+x_4=1\\
x_1+\lambda x_2+x_3+x_4=1\\
x_1+x_2+\lambda x_3+x_4=1\\
x_1+x_2+x_3+\lambda x_4=1\\
\end{array} \right.
” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>
三、 设数域 上的多项式的最大公因式为,且的次数为.设表示形如 且次数小于的多项式全体形成的集合，即
<section role="presentation" data-formula="v_n=\left\{ f\left( x \right) =\sum_{i=1}^s{u_i\left( x \right) f_i\left( x \right)}|u_i\left( x \right) \in \mathbb{k}\left[ x \right] ,\text{deg}\left( f\left( x \right) \right) < n \right\}
” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>
(1) 证明: 对于多项式加法及数乘运算构成上的线性空问;
(2) 计算线性空间 的维数，并写出 的一组基.
四、设是维欧式空间中的向量组，向量与的内积记为，证明: 线性无关的充要条件是矩阵可逆.
五、设为数域上次数小于 的多项式全体构成的线性空间,定义上的线性变换如下:
(1) 写出线性变换在的基下的矩阵;(2) 证明：是的-组基;(3) 求过渡矩阵 满足 ;(4) 证明:线性换是双射，且
(5) 判断线性变换是否可对角化,并给出理由.
六、 设是一个3阶实对称矩陈，若的迹.且向量与是的属于特征值1的特征向量，求矩阵.
七、设是数域上的矩阵，按递归方式定义的重伴随矩阵如下，
<section role="presentation" data-formula="a^{\left( 0^* \right)}=a,a^{\left( 1^* \right)}=a^*,a^{\left( 2^* \right)}=a^{**},a^{\left( m^* \right)}=\left( a^{\left( \left( m-1 \right) ^* \right)} \right) ^*
” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>
即，证明:
(1) ;
(2)
<section role="presentation" data-formula="a^{\left( m^* \right)}=\left\{ \begin{array}{l}
\left| a \right|^{\frac{\left( n-1 \right) ^m-1}{n}}a,\text{当}m\text{为偶数;}\\
\left| a \right|^{\frac{\left( n-1 \right) ^m-n+1}{n}}a^*,\text{当}m\text{为奇数}.\\
\end{array} \right.
” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>
八、设表示闭正间上的连续实值函数全体构成的线性空间.定义上二元函数如下:
<section role="presentation" data-formula="\left( f\left( x \right) ,g\left( x \right) \right) =\int_0^1{f\left( x \right) g\left( x \right) x^2\text{d}x},\quad \forall f\left( x \right) ,g\left( x \right) \in v
” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>
(1) 证明：上述二元函数是线性空间的一个内积;
(2) 证明: 是无限维线性空间;
(3) 对任意,令,证明:为正定矩阵.
– end –
